Polinom Nedir?
Polinomlar, matematiksel ifadelerde yer alan terimlerin toplamından oluşan bir matematiksel yapıdır. Polinom, sabit sayılar, değişkenler ve bu değişkenlerin üsleri arasında toplama ya da çarpma işlemleri ile oluşan matematiksel ifadelerdir. Genel olarak şu şekilde gösterilir:
P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + … + a_1x + a_0
Burada a_n, a_{n-1}, …, a_1, a_0 sabit sayılar, x ise değişken olarak kullanılır. n ise en büyük üs olup, genellikle tam sayıdır.
Polinomların temel özellikleri şunlardır:
- Polinomlar, sabit terimler, değişken terimler ve sabit sayılar kullanılarak oluşturulur.
- Polinomlar, sabit sayılar ve değişkenler arasında toplama, çıkarma, çarpma işlemleri yapılarak oluşturulur.
- Polinomların derecesi, en yüksek dereceli terimin derecesi ile belirlenir.
Polinomların Dört İşlemi
Polinomlarda Toplama ve Çıkarma İşlemi
Polinomları toplamak veya çıkarmak için aynı derecedeki terimleri birbirleriyle toplamak veya çıkarmak yeterlidir. Örneğin:
P(x) = 2x^3 + 4x^2 + 3x – 1
Q(x) = 3x^3 – 2x^2 + x + 5
P(x) + Q(x) = (2x^3 + 3x^3) + (4x^2 – 2x^2) + (3x + x) + (-1 + 5)
= 5x^3 + 2x^2 + 4x + 4
P(x) – Q(x) = (2x^3 – 3x^3) + (4x^2 + 2x^2) + (3x – x) + (-1 – 5)
= -x^3 + 6x^2 + 2x – 6
Polinomlarda Çarpma İşlemi
Polinomları çarpmak için iki yöntem kullanılabilir. İlk yöntem, bir polinomun her terimini diğer polinomun her terimiyle çarpmak ve sonuçları toplamaktır. Örneğin:
P(x) = 2x^3 + 4x^2 + 3x – 1
Q(x) = 3x^3 – 2x^2 + x + 5
P(x) * Q(x) = (2x^3 * 3x^3) + (2x^3 * -2x^2) + (2x^3 * x) + (2x^3 * 5)
(4x^2 * 3x^3) + (4x^2 * -2x^2) + (4x^2 * x) + (4x^2 * 5)
(3x * 3x^3) + (3x * -2x^2) + (3x * x) + (3x * 5)
(-1 * 3x^3) + (-1 * -2x^2) + (-1 * x) + (-1 * 5)
= 6x^6 + 2x^5 -6x^4 + 12x^3- 11x^2 + 8x- 5
İkinci yöntem ise, uzun çarpım yöntemi olarak bilinen yöntemdir. Bu yöntemde, her terimin diğer polinomun her terimiyle çarpılması ve sonuçların doğru yerlere yazılması gereklidir.
Polinomlarda Bölme İşlemi
Polinomlarda bölme işlemi, polinomların birbirlerine bölünmesini ifade eder. Bu işlem, polinomların çarpanlarını bulmak, köklerini tespit etmek ve diğer matematiksel işlemleri gerçekleştirmek için kullanılır.
Bölme işlemi, uzun bölme yöntemiyle gerçekleştirilir. Öncelikle, bölünen polinomun en yüksek dereceli terimi bölücü polinomun en yüksek dereceli terimiyle bölünür. Bu işlem sonucunda, birinci terim elde edilir. Bu terim, bölücü polinomun en yüksek dereceli terimi ile çarpılarak bölünen polinomdan çıkarılır. Sonra elde edilen farkın en yüksek dereceli terimi tekrar bölücü polinomun en yüksek dereceli terimiyle bölünür. Bu işlem, bölünecek terim kalmayana kadar devam eder.
Örneğin;
x^3 – 2x^2 + x + 2 polinomunu x – 2 bölümüyle çarpma işlemi sonucunda kalanı bulunuz.
Çözüm:
Öncelikle bölme işleminin adımlarını uygulamak için, x – 2’yi x^3 – 2x^2 + x + 2 polinomundan böleceğiz.
x^2 (x – 2)
_________________
x^3 – 2x^2
x^3 – 2x^2 + x
—————
x + 2
İlk adımda x^2, x^3 – 2x^2 terimine bölme işlemini uygulamak için kullanılır. Bu işlem sonucu, x^3 – 2x^2’in x^2 ile çarpımı x^3 – 2x^2 elde edilir. Bu sonuç, x^3 – 2x^2 + x terimine çıkarılır ve kalan x + 2 olur.
Son adımda, kalan x + 2, x – 2’ye bölünür. Bu işlem sonucunda, son kalan olarak 6 bulunur.
Yani, x^3 – 2x^2 + x + 2 polinomunu x – 2 bölümüyle çarpma işlemi sonucunda kalan, 6’dır.
Edunette web sitesini ziyaret ederek istediğiniz dersi ve öğretmeni seçerek tek tıkla ders almaya başlayabilirsiniz. Ücretsiz deneme dersi alarak daha rahat karar verebilirsiniz.
